Periodischer Punkt

Beschreibung

Für ein Dynamisches System $f:X\to X$ ist ein Periodischer Punkt ein Punkt, der nach einer endlichen Anwendung von $f$ zum Ursprungsort zurückkehrt. D.h. $f^n(x)=x$. $n$ wird als die Periodizität bezeichnet.

Periodische Punkte in symbolischer Dynamik

Eigenschaften

Identifikation durch Blöcke

Sei $x$ ein periodischer Punkt eines Untershift endlichen Typs. Dann kann er identifiziert werden mit einem Block (Symbolische Dynamik) von Länge $l+1$, welcher mit dem gleichen Zeichen beginnt und endet.

Anzahl periodischer Punkte

Die Anzahl der Periodischen Punkte $N(A,l)$ mit Periode $l$ ist gleich der Anzahl von Zykeln mit Länge $l$. Diese sind durch die Spur der Adjazenzmatrix gegeben: $N(A,l)=tr{A}^l=\sum (A^l{)}_{ii}$

Tip

Die Menge der Punkte, die $k$-periodisch sind konvergieren nach folgendem Muster: ${\lim }_{k\to \infty }\frac{N(A,kp)}{{\lambda }^{kp}}={\lim }_{k\to \infty }\frac{tr{A}^{kp}}{{\lambda }^{kp}}=p$ wobei $\lambda$ der Perron-Wert ist und $p$ die Periode (Matrix).

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