Levi-Cevita-Zusammenhang

Beschreibung

Der Levi-Cevita-Zusammenhang ist eine natürliche Wahl eines Linearer Zusammenhang für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Definition

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, dann gibt es einen natürlichen eindeutigen Linearer Zusammenhang $\nabla$ auf $TM$, sodass für alle Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit) $X,Y,Z$ gilt:

1. ${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y]$ (Torsionsfrei)
2. $Xg(Y,Z)=g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)$ (Metrik-kompatibel)

Diesen Zusammenhang nennen wir den Levi-Cevita-Zusammenhang

Eigenschaften

Koszul-Formel

Beim Beweis der Eindeutigkeit des Levi-Cevita-Zusammenhangs erhalten wir die Koszul-Formel: $2g({\nabla }_{Y}X,Z)=Xg(Y,Z)-Yg(Z,X)-Zg(X,Y)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X)-g([X,Y],Z)$ Diese zeigt Existenz und Eindeutigkeit des Levi-Cevita-Zusammenhangs, da die Gleichung auf keiner Seite von der Riemannsche Metrik $g$ abhängt.

Freundlich unter Isometrie

Wenden wir einen Pullback einer Isometrie (Riemannsche Mannigfaltigkeit) auf einen Levi-Cevita-Zusammenhang an, erhalten wir die nützliche Gleichung, die die Levi-Cevita-Zusammenhänge auf $M,N$ folgendermaßen in Verbindung bringt: $f_{\ast }{\nabla }_X^{M}Y={\nabla }_{f_{\ast }X}^N{f}_{\ast }X$

Symmetrie

Der Levi-Cevita-Zusammenhang erfüllt die Torsionsfreiheit. Damit gilt folgende Eigenschaft: Sei $f:(a,b)\times (c,d)\to M$ eine Glatte Abbildung. Dann sind die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}$ Vektorfelder entlang den Kurve $v\mapsto f(s,t),s\mapsto f(s,t)$. Der lineare Zusammenhang erhält damit folgende Symmetrieeigenschaft: ${\nabla }_{\frac{\partial f}{\partial s}}\frac{\partial f}{\partial t}={\nabla }_{\frac{\partial f}{\partial t}}\frac{\partial f}{\partial s}$ Das wird häufig abgekürzt notiert als: $\frac{\nabla }{dt}\frac{\partial f}{\partial s}=\frac{\nabla }{ds}\frac{\partial f}{\partial t}$ Beweis: Schreibe $f$ in Koordinaten und wende die Produktregel an.