Von Vergröberung erzeugte Sigma-Algebra

Beschreibung

Führt man eine Zufallsvariable durch, so gibt es eine natürliche Wahl für einen neuen Sigma-Operator, den man auf dem Urbildraum anwenden könnte. In dieser Sigma-Algebra sind alle Ergebnisse ununterscheidbar zusammengefasst, die unter der Vergröberung den gleichen Wert haben.

Definition

Sei $\Omega$ ein Ergebnisraum, weiter $(\tilde{\Omega },\tilde{\mathcal{A}})$ ein Messraum und für Index-Menge $I$, für alle $i\in I:X_i:\Omega \to \tilde{\Omega }$, dann ist $\sigma (X_{i,}i\in I):=\{X_i^{-1}(\tilde{A}):\tilde{A}\in \tilde{\mathcal{A}},i\in I\}$ eine Sigma-Algebra.

Charakterisierungen

Kleinste Algebra für messbare Vergröberungen

$\sigma (X_{i,}i\in I)$ ist die kleinste $\sigma$-Algebra, die die Abbildungen $X_{i,}i\in I$ $\mathcal{A}-\tilde{\mathcal{A}}$-messbar macht.