2-Torus

Beschreibung

Der $2$-Torus ist der zweidimensionale Spezialfall des Torus. Er ist ein häufiges Beispiel in der Topologie weshalb er seinen eigenen Artikel verdient.

Definition

Es gibt viele verschiedene Methoden, einen $2$-Torus zu definieren. Hier sind einige Möglichkeiten

Identifikation von Kanten eines Quadrats

Ein Torus ergibt sich, indem man Gegenüberliegende Seiten eines Quadrats in gleicher Richtung identifiziert.

Identifikation von Kanten eines Hexagon

Wie beim Quadrat, kann man auch durch Identifikation gegenüberliegender Seiten eines Hexagons einen Torus erhalten.

Quotient eines Quadratgitters

Der $2$-Torus ist die Quotientenmannigfaltigkeit ${\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ wobei ${\mathbb{Z}}^2$ die Gruppe ist, die durch Verschiebung auf ${\mathbb{R}}^2$ operiert.

Quotient eines Hexagongitters

Indem man Punkte eines Hexagongitters durch einen Quotienten identifiziert, erhält man ebenfalls einen $2$-Torus.

Die beiden oberen Beispiele sind offensichtlich mit der Parkettierung der Euklidischen Ebene der Ebene verwandt.

Eigenschaften

Abbildungsklassengruppe

Siehe Abbildungsklassengruppe des 2-Torus

Farben-Problem

Man benötigt sieben Farben, um das Vier-Farben-Problem auf dem $2$-Torus zu lösen.

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