Hausdorff-Abstand

Beschreibung

Der Hausdorff-Abstand beschreibt eine sehr interessante Metrik oder einen Nicht-metrischer Abstand.

Definition

Für $A,B\subseteq {\mathbb{R}}^n$ $d_{Hdff}(A,B)=\inf \{\epsilon :A\subseteq U_{\epsilon }(B),B\subseteq U_{\epsilon }(A)\}$ Wobei $U_{ϵ}(X)$ die $\epsilon$-Umgebung bezeichnet. ($U_{ϵ}(X):=\{y:d(y,x)<ϵ,x\in X\}$)

Es scheint zu beschreiben: Wie viel muss man A oder B aufblasen, damit das andere in der ausgeblasenen Version des enthalten ist?

Beispiele

Sei $\mathcal{K}(D^n)$ die Menge der kompakten Unterräume des $n$-dimensionalen Einheitsballs $D^n=\text{ges}x\in \mathbb{R}:\Vert x\Vert <1$. Dann definiert der Hausdorfabstand auf $\mathcal{K}(D^n)$ eine Metrik.

\newcommand{\R}{\mathbb R}