Kartensammeln

Beschreibung

Man stelle sich folgendes Zufallsexperiment vor. Man möchte $n$ Sammelkarten sammeln. Wie oft muss man zufällig eine nachziehen, bis man voraussichtlich alle beisammen hat?

Lösungen

Zufallsvariablen

Angenommen es gibt $n$ Karten. Wir zerlegen das Experiment in mehrere Zufallsvariablen $X_i$: $X_i:=\text{Anzahl an Wu¨rfen, bis man eine Zahl zieht, die anders als die vorherigen i Zahlen ist}$ $X_i$ ist einfach das Erstes Auftreten mit Wahrscheinlichkeit $p=\frac{n+1-i}{n}$, hat also den Erwartungswert $E(X_i)=1/p=\frac{n}{n+1-i}$. Damit gilt $E(X)=E(X_1)+...+E(X_n)=n\text{klam}\frac{1}{1}+...+\frac{1}{n}\sim n\ln (n)$

Markov-Kette

Man kann eine Markow-Kette zeichnen, die immer dann fortschreitet, wenn ein neuer Zustand erreicht wird. Man erhält eine Lineare homogene Differenzengleichung, die dann aufgelöst werden kann.

Eigenschaften

lit_hammingArtProbability2018