Quadratische Matrix

Beschreibung

Quadratische Matrizen sind ein Spezialfall von Matrizen.

Definition

Wir bezeichnen die Quadratischen Matrizen mit $\mathcal{M}(n,n,\mathbb{K})$ oder ${\mathbb{K}}^{n\times n}$

Eigenschaften

Normalform für nicht-negative Matrizen

Sei $A$ eine nicht-negative, ´quadratische Matrix. Dann gibt es eine Permutationsmatrix $P$ sodass $P^{-1}AP$ die Form hat: $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& \ast & ...& \ast \\ 0& A_2& ...& \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& ...& A_n\end{array}\right)$ $A_i$ entweder

• eine nicht-negative, quadratische, Irreduzible Matrix, korrespondierend zu einer irreduziblen Komponente von $A$
• Eine Ein-mal-Eins Matrix $A_i=[0]$ korrespondierend zu einem Transienter Index.

Eine Irreduzible Komponente, deren Perron-Wert gleich dem Spektralradius von $A$ ist, wird maximale irreduzible Komponente genannt.

Beweis: Das ist eigentlich ganz einfach zu zeigen. Identifiziere alle Maximalen stark zusammenhängenden Subgraphen. Schrumpfe die Graphen zu Knoten zusammen. Man erhält nun einen Graphen ohne Zykel (Graph). Gäbe es einen Zykel, wäre die vorherige Auswahl nicht maximal gewesen. Der Graph ist also ein Wald (Graphentheorie). Demnach kann man die Knoten in eine Reihenfolge bringen, sodass jeder Knoten nur von vorherigen abhängig ist. Das ist äquivalent dazu, dass man die Adjazenzmatrix durch Permutation in die obere Form bringen kann.

Spektralradius

Sei $A$ eine nicht-negative, quadratische Matrix. Dann ist der Spektralradius von $A$ gleich dem maximalen Perron-Wert aller irreduziblen Komponenten.