Quotientenkörper

Beschreibung

Ein Körper, in dem jedes Element als Quotient zweier Ringelemente geschrieben werden kann, wird Quotientenkörper genannt.

Definition

Sei $R$ ein Integritätsbereich. Ein Erweiterungsring $K\supset R$ wird Quotientenkörper von $R$ genannt, wenn $K$ ein Körper ist und $K=\{a{b}^{-1}:a,b\in R,b\ne 0_R\}$ gilt.¹

Beachte, dass $b^{-1}$ nicht unbedingt in $R$ liegen muss. Wie $\frac{1}{2}$ nicht in $\mathbb{Z}$ liegt.

Eigenschaften

Isomorphie

Je zwei Quotientenkörper von $R$ sind isomorph

Beispiel

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{r+s\sqrt{2}:r,s\in \mathbb{Q}\}$ ist ein Quotientenkörper von $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Anschauung

Betrachte die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Bilde aus jedem Quotienten den man mit Zahlen aus $\mathbb{Z}$ erzeugen kann eine neue Menge. Die erzeugte Menge sind die Rationale Zahlen.

Das angewandte Vorgehen lässt sich auf andere Integritätsbereiche anwenden. Ist das Ergebnis ein Körper, nennt man es Quotientenkörper

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 4.1 ↩