Hyperbolische Halbebene

Beschreibung

Zusammen mit der Poincaré Scheibe ist die Hyperbolische Halbebene ein Modell einer Hyperbolische Geometrie.

Definition

Die Hyperbolische Halbebene ist einfach die komplexe Halbebene ${\mathbb{H}}^2:=\{x+iy:y>0\}$.

Metrik

Die Hyperbolische Geometrie wird definiert durch die Metrik $d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$ oder analog $g_p(v,w)=\frac{(dx\otimes dx)(v,w)+(dy\otimes dy)(v,w)}{y^2}$ Zwei Punkte in der Nähe von $\mathbb{R}$ haben also einen großen Punkte als zwei Punkte mit dem gleichen euklidischen Abstand, die weiter weg von $\mathbb{R}$.

Eigenschaften

Isometrien

Die Isometriegruppe ist genau die Menge der Möbiustransformation mit $ad-bc=1$. Siehe für mehr Details Isometrien der Hyperbolischen Geometrie

Längenminimierende Kurven

Die vertikalen Kurven sind längenminimierend. Damit sind sie Globale Geodätische. Alle anderen Längenminimierende Kurven erhält man durch Anwendung der Isometrien. Man kann zeigen, dass dabei alle Verallgemeinerte Kreislinie mit Mittelpunkt auf der $x$-Achse Geodätische sind.

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