Beschreibung
Der Projektiver Raum (auch elliptischer Raum) ist eine spannende Glatte Mannigfaltigkeit. Sie entsteht aus der Sphäre, indem wir gegenüberliegende Punkte miteinander identifizierne. Es ist eine Mannigfaltigkeit, die in gewisser Weise einfacher ist als die Sphäre. Die Sphäre besitzt einige Regeln mit Ausnahmen, die aus der Existenz von antipodalen Punkten entsteht.
Definition
Der Projektive Raum ist definiert als mit , wenn
Karte durch Projektion
Betrachte den Projektiven Raum . Wir können mit einer halben Sphäre fast alle Punkte identifizieren. Durch Plattdrücken der Sphäre erhalten wir eine effiziente Karte, die fast ganz darstellt. Um nun die anderen Punkte ebenfalls zu berücksichtigen, wiederholen wir das Vorgehen mit Karten, die Sphären aus anderen Winkeln platttreten. Für erhalten wir auf diese Weise Karten, die jeweils die Hemisphären von Osten, Norden und von Oben abbilden.
Karte durch Steigung
Eine andere Möglichkeit, einer Karte ist es, die Steigung bezüglich einer Koordinate anzugeben. D.h. wenn ich mich entlang dieser Koordinate um einen Schritt bewege, um welchen Vektor verändert sich die projeziierte Gerade?
Riemannsche Metrik
Wir erhalten den projektiven Raum durch den Quotienten . Dies ist eine Eigentlich Diskontinuierliche und freie Gruppenoperation. Wir erhalten dadurch eine Quotientenmetrik auf
Eigenschaften
Quotientenmannigfaltigkeit
Der projektive Raum entsteht als Quotientenmannigfaltigkeit
Beispiel
Projektiver 2-Raum
Siehe 2-Projektiver Raum
\newcommand{\R}{\mathbb R}