Abstract
4次元多様体の曲面の埋め込みがふたつ与えられたとき、これらが位相的にはアイソトピックだが滑らかにはアイソトピックでないときこれらをエキゾチック曲面対という。4次元多様体の中のエキゾチック曲面対の存在問題には多くの先行研究があるが、 の中の閉曲面によるエキゾチック曲面対の先行研究は少ない。また, 内の標準的なの埋め込みに関してエキゾチック曲面対の非存在はunknotting予想と呼ばれいまだに未解決である。
の中のエキゾチック曲面対の検出の困難さの一因は、滑らかにはアイソトピックでないことを示す手法の少なさにある。特に, 内のやの埋め込みに関して連結和公式などがある系統的な不変量は知られていなかった。
本講演では、４次元多様体に埋め込まれた曲面の不変量をReal Seiberg—Witten理論を用いて構成し、応用として、 実射影平面の へのエキゾチックな埋め込みの無限族を与える。内ののエキゾチック曲面対は本研究の例が最初である。
Talk
Introduction
Wr präsentieren einen Satz (Hughes-Kim-Miller 2024) demzufolge es zwei Einbettungen von in gibt, sodass die beiden homöomorph aber nicht diffeomorph sind. D.h. sie sind exotisch.
Wir beschreiben die kürzliche Geschichte von exotischen Mannigfaltigkeiten.
- Finashin-Kreck-Viro (1987)
- Finashin (2009)
- Havens (2021)
- Vecine-Lidmer-Piccirillo (2023)
- Matic-Östürk-Stipsictz (2023)
Wir beschreiben, dass die Existenz eines exotischen noch ein offenes Problem ist.
Reelle Seiberg-Witten-Theorie
Dies ist anscheinend eine Theorie, mit der man zeigen kann, dass Mannigfaltigkeiten exotisch sind. Diese Theorie fußt irgendwie damit, dass man Differentialsysteme aufbaut. Es hat wohl mit dem Ricci-Fluss zu tun.
Auf einer 4-Mannigfaltigkeit definieren wir eine Spin-Struktur. Aus der Mannigfaltigkeit und der Spin-Struktur definieren wir die Seiberg-Witten-Invariante . Die Definition dieser Zahl habe ich leider nicht verstanden.
Darauf aufbauend definieren wir die Relle Seiberg-Witten-Invariante. ich weiß leider nicht ganz, wie die sich zur vorherigen Invariante unterscheidet.
Exotischer -Knoten
Sei eine Brezelverschlingung. Was ist ein -Knoten? Wir machen einige Sachen, die ich nicht ganz verstanden habe.
Dann präsentieren wir einen Satz des Autors Jin Miyazawa, demnach die Fundamentalgruppe auf einer Quotientenmannigfaltigkeit gleich ist.