Winkel

Beschreibung

Ein Winkel zwischen zwei Geradensegmenten soll definiert werden als die Länge eines Kreisbogens mit Radius $1$, der die beiden Geradensegmente verbindet.

Dadurch erhalten wir das Bogenmaß

Definition

Stellt man sich zwei Strahlen vor, die einen Punkt verlassen, dann ist es offensichtlich, dass diese zwei den Einheitskreis um den Punkt in zwei Punkten schneiden. Diese zwei Punkte sind sind Bildpunkte der Einheitskreiskurve $\kappa$ unter zwei Urbildwerte ${\theta }_1,{\theta }_2$. Die Differenz ${\theta }_2-{\theta }_1$ nennen wir den Winkel zwischen den Strahlen $S_1$ und $S_2$.

Das macht WInkel eigentlich schon fast metrisch definiert. Problematisch ist nur, dass sie in anderen Metriken vermutlich weder eindeutig noch ecistent sein müssen.

Erzwungene Eindeutigkeit

Da durch die obere Definition der Winkel nicht eindeutig ist (er kann alle Werte verschoben um $2\pi$) annehmen wählen wir per Konvention Winkel zwischen $[0,2\pi ]$.

Nichtorientierter Winkel

Der Nichtorientierte Winkel ist der kleinste Winkel zwischen $S_1$ und $S_2$ (bzw. $S_2$ und $S_1$).

Eigenschaften

Metrische Invariante in ${\mathbb{R}}^n$

Eine Isometrie erhält Längen, damit die Gleichmäßigkeit von $\kappa$ erhält damit Teilbögen und damit auch Winkel.

Aus dieser Invarianz folgen die meisten Sätze, zum Beispiel der Gegenwinkelsatz, Stufenwinkelsatz. Man kann nämlich ein paar Isometrien anwenden um die Strahlpaare auf die anderen Strahlpaare abzubilden. Mit den oberen beiden Satzen kann man die Innenwinkelsumme zeigen.

\newcommand{\R}{\mathbb R}