Primkörper

Beschreibung

Hat ein Körper keinen kleineren Teilkörper, wird er Primkörper genannt.

Definition

Bildet man den Schnitt aller Teilkörper eines Körpers $L$ erhält man den kleinsten Teilkörper des Körpers. Dieser wird der Primkörper $P(K)$ genannt.

Eigenschaften

1. Ist $char(K)=0$, dann gilt $P\cong \mathbb{Q}$
2. Ist $char(K)=p$, dann gilt $P\cong {\mathbb{F}}_p$

$char$ bezieht sich auf die Charakteristik (Ring).

Übungen

Checkliste Gerkmann

Was sind die Primkörper von $\text{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$?

Der Teilkörper $\text{Q}$, denn der Schnitt aller Teilkörper oberer Körper muss $0$ und $1$ aus $\text{Q}$ enthalten. Durch normale Operationen kann man dann daraus alle Elemente aus $\text{Q}$ erzeugen. $\text{Q}$ ist damit der kleinste mögliche Teilkörper.