Fouriertransformation (Stochastik)

Beschreibung

Die Fouriertransformation ist einfach die Fouriertransformation (Analysis) mit einer Stochastik-Farbschicht. Wie in der Analysis auch ist sie nützlich, um bestimmte Rechnungen (wie die Faltung) einfacher zu machen.

Definition

Für eine Zufallsvariable $X$ definieren wir die Fouriertransformation als die Momenterzeugende Funktion ausgewertet auf der imaginären Achse: ${\Phi }_X:\mathbb{R}\to \mathbb{C},y\mapsto L_X(iy)=\mu (e^{iyX})$

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiel

Example

Habe die Verteilung ${\mathcal{L}}_P(X)$ einer Vergröberung $X:(\Omega ,\mathcal{A})\to (\mathbb{R},B_{\mathbb{R}})$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho :\mathbb{R}\to [0,1]$ bezüglich $\lambda$, haben wir: $\tilde{\rho }(y)=\mu (e^{iyX})={\int }_{\omega \in \Omega }{e}^{iyX(\omega )}dP(\omega )={\int }_{z\in \mathbb{R}}{e}^{iyz}\rho (z)d\lambda (z)=(2\pi )\hat{\rho }(y)$ Also die Fouriertransformierte der Dichte $\rho$, wobei $\hat{\rho }(y)$ die Fouriertransformation (Analysis) ist.