Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Ein Vektorfeld (Vektorraum) ordnet jedem Punkt einer mathematischen Struktur einen Vektor zu. Der Vektor lebt im Tangentialraum der mathematischen Struktur. Entsprechend ist ein Vektorfeld nur auf Differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sinnvoll definierbar.

Dieses Vektorfeld kann bestimmte weitere Eigenschaften, z.B. Stetigkeit, Glattheit erfüllen.

Definition

Ein glattes Vektorfeld auf einer Glatte Mannigfaltigkeit ist eine glatte Abbildung $V:M\to TM$, sodass $\pi (V(p))=p$ für alle $p\in M$.

Eigenschaften

Da eine Mannigfaltigkeit lokal euklidisch ist, werden viele Eigenschaften von gewöhnlichen Vektorfeldern übertragen.

Existenz einer Integralkurve

Sei $X$ ein glattes Vektorfeld auf $M$. Dann existiert eine Nachbarschaft $U\subseteq M$ um $p\in M$ sowie ein Intervall $(-\epsilon ,\epsilon )$ mit einer Integralkurvenmenge $\phi :(-\epsilon ,\epsilon )\times U$, die die Integralkurvengleichung $\frac{\partial \phi }{\partial t}=X(\phi (0,p)),\phi (0,q)=q$

Die Integralkurve abhängig vom Startpunkt wird manchmal (z.B. bei Maret) auch mit $\exp (tv):M\to M$ bezeichnet. Ich frage mich, ob das bedeutet, dass jedes vollständige Vektorfeld auf einer Fläche eine Riemannsche Mannigfaltigkeit induziert.