Hyperboloid

Beschreibung

Ein Hyperboloid ist ein Unterraum des ${\mathbb{R}}^n$, der durch eine Hyperbolische Gleichung charakterisiert ist.

Definition

Sei ${\mathbb{R}}^n$ der euklidische Raum. Die Menge aller Punkte $H=\{(x_1,...,x_n):x_1^2+...+x_{n-1}^2-x_n^2\}$ bilden den zweiteiligen Hyperboloid.

Eigenschaften

Modell hyperbolischer Geometrie

Es ist möglich, die Lorentz-Metrik $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+...+x_{n-1}{y}_{n-1}-x_n{y}_n$. auf das Hyperboloid $\{x\in {\mathbb{R}}^n:⟨x,x⟩=-1\}$ anzuwenden. Der resultierende Raum ist dann hyperbolisch.

Parametrisierbarkeit

Der Hyperboloid kann folgendermaßen parametrisiert werden: $\varphi :{\mathbb{R}}_0^{+}\times [0,2\pi )\to {\mathbb{R}}^3,(x,y,z)\mapsto (\sinh \rho \cos \theta ,\sinh \rho \sin \theta ,\cosh \rho )$

Die obere Parametrisierung gibt eine fantastische Karte des hyperbolischen Raumes. Vor allem, da die Christoffelsymbole nicht kompliziert sind.

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