Nicht-metrischer Abstand

Beschreibung

Nicht-metrische Abstände beschreiben Abstandsbegriffe, die nicht unbedingt Metriken sein müssen. Zum Beispiel kann der Abstand zweier verschiedener Objekte $0$ betragen, die Dreiecksungleichung muss nicht erfüllt sein, etc.

Definition

Eine Funktion, die zwei Objekte auf $\mathbb{R}$ abbildet, nenne ich einen (nicht-metrischen) Abstand.

Beispiele

Abstand Punkt-Menge

Für $p\in {\mathbb{R}}^n,M\subset {\mathbb{R}}^n$ ist der Abstand definiert durch $d(p,M)=\inf \{d(p,m):m\in M\}$ Dieser Abstand gibt eine Möglichkeit Parallelität zu definieren: Zwei Geraden sind parallel, wenn jeder Punkt einer Parallele begrenzt von der anderen Parallel entfernt ist.

Abstand Menge-Menge

Für $A,B\subseteq {\mathbb{R}}^n$ ist der Abstand definiert durch $d(A,B)=\inf \{d(a,b):a\notin A,b\in B\}$

Hausdorff-Abstand

Siehe Hausdorff-Abstand

\newcommand{\R}{\mathbb R}