For a knot in 3-sphere, the Upsilon Invariante is a concordance invariant derived from knot Floer homology theory. The invariant is a continuous piecewise linear function on . Borodzik and Hedden gave a question asking for which knots the Upsilon invariant is a convex function. It is known that the Upsilon invariant of any L-space knot, and a Floer thin knot after taking its mirror image, if necessary, as well, is convex. Also, we can make in finitely many knots whose Upsilon invariants are convex by the connected sum operation. In this talk, we give infi nitely many mutually non-concordant hyperbolic knots which provide new answers to Borodzik and Hedden’s question.
Mit Himeno war ich gestern essen!
Einführung
Für R-Raum Knoten ist die Upsilon Invariante eine konvexe Funktion. Desweiteren bei Alternierender Knoten, zusammenhängende Summen von konvexen Knoten.
Beispiele für nicht konvexe Knoten sind:
- -Kabelknoten der recht-händigen Kleeblattschlinge
- Ein bestimmter -Zopfabschluss
Hauptergebnis: Es gibt unendlich viele Hyperbolischer Knoten mit konvexer Upsilon-Invariante, die keine -Raum Knoten oder Floer dünne Knoten (+ noch eine Eigenschaft)
Wir definieren einen zweidimensionalen Kettenkomplex mit Koeffizienten. Den Kettenkomplex zu Berechnen ist im Allgemeinen schwer. Für spezielle Klassen von Knoten (z.B. L-Raum-Knoten) gibt es jedoch spezielle, einfachere Methoden. (SnapPy kann das auch berechnen ^^) Man kann auch Gitter-Diagramm nutzen. (Vgl. kumoto)
Stably equivalence
Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf den Kettenkomplexen, namens stable equivalence. Sind zwei Knoten Konkordanz, dann sind ihre Kettenkomplexe auch äquivalent.
Die Upsilon Invariante lässt sich aus den Kettenkomplexen berechnen. Sind die Komplexe äquivalent, so ist auch die Upsilon-Invariante gleich.
Konstruktion eines speziellen Knotens
Wir konstruieren eine spezielle Klasse von Knoten. Diese haben
- Kettenkomplexe äquivalent zu einem Torusknoten
- sind hyperbolisch
- sind keine -Raum-Knoten und keine Floer thin knots
Deren Upsilon-Invariante ist konvex. Dass die Kettenkomplexe tatsächlich invariant sind, zeigen wir an einem hübschen Bild.
Wir berechnen das Alexander-Polynom der oberen Knotenklasse. Daraus können wir einige Sachen feststellen:
- Es ist kein Torusknoten
- Die Brückenzahl ist . Da die Brückenzahl von primen Satellitenknoten ist, folgern wir, dass wir keinen primen Satelitenknoten haben.
Es folgt, dass der Knoten hyperbolisch ist.
Konkordanz
Wir definieren eine Familie, die unendlich viele zueinander nicht konkordanten Knoten besitzt. Wir können das durch einige Zahlentheoretische Tricks zeigen.
Das Integral der Invariante
Wir berechnen das Integral der Upsilon Invariante. Für Torusknoten und Iterierte Kabelknoten eines L-Raum-Knoten können explizite Formeln angegeben werden.
Der Wert des Integrals gibt uns eine neue, gröbere Äquivalenz auf Knoten. Denn es gibt Knoten mit gleichem Integral aber unterschiedlichen Upsilon Invarianten. Keisuke Himeno gibt ein Beispiel zweier solcher Knoten an.
Wir geben am Ende eine Tabelle an, in der Knoten erwähnt sind, die die obere Eigenschaft haben.