Beschreibung
Der Farey-Graph (manchmal auch Farey-Parkettierung) ist ein Graph, der genutzt wird, um den Farey-Baum zu definieren. Er ist ein Graph, bestehend aus Dreiecken, der eine Parkettierung der Hyperbolischen Ebene definiert.
Definition durch Farey-Folgen
Betrachte die Farey-Folge . Diese erhält man, indem man alle vollständig gekürzten Brüch mit Nenner der größe ihres Quotienten nach aufschreibt. Verbinde nun zwei Brüche durch eine Kante, wenn es eine Farey-Folge gibt, bei der diese Zahlen aufeinander folgen. Das Resultat ist der Farey-Graph.
Definition durch Farey Summe
Beginne mit den beiden Zahlen . Diese beiden Zahlen lassen sich in verschiedenen hyperbolischen Modellen darstellen. Im Poincaré Scheibe findet man die Zahlen am Nord- bzw. Südpol der Kreisscheibe. In der hyperbolischen Halbebene sind dies der Ursprung und der Punkt im oberen unendlichen. Wir verbinden beide Punkte durch die eindeutige verbindende hyperbolische Geodätische (in der hyperbolischen Halbebene ist dies eine senkrechte Gerade). Die Gerade korespondiert mit einem Farey-Intervall Durch wiederholte Farey-Summe lassen sich nun alle rationalen Zahlen generieren. Diese Zahlen lassen sich erneut am Rand der Modelle verzeichnen. Für die Kreisscheibe halbiert man dazu den Winkel zwischen den beiden Punkten. Für die Halbebene wählt man die entsprechende rationale Zahl auf dem reellen Zahlenstrahl. Die erhaltene Summe wird dann mit ihrem Elternteil verbunden.
Zwei Kanten die durch Kanten verbunden sind, werden auch als Farey-Nachbarn. Sie erfüllen die Gleichung .
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Eigenschaften
Wird von bewirkt
Die Matrix als Möbiustransformation erhält den Farey-Graph. Das folgt daraus, dass die Matrix die Nachbarschaftsrelation erhält.
lit_kawamuroCompleteDescriptionAgol2023
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