Inversion

Beschreibung

Die Inversion ist eine Methode eine Spiegelungsachse auf Kreisränder zu verallgemeinern. Man spiegelt dabei das Äußere des Kreises in das Innere und umgekehrt.

Auf der Poincaré Scheibe ist es das Analogon zur Spiegelung an Hyperebene

Definition

Komplexe Ebene

Sei

• $K$ der Inversionskreis mit dem Mittelpunkt $q$ und dem Radius $R$

Dann ist ${\mathcal{I}}_K(z)=\frac{R^2}{\overline{z}-\overline{q}}+q$¹

Dividiert man die Strecke $qz$ ihren Betrag $|qz|$ und multipliziert sie mit dem Radius $R$, erhält man einen Punkt, der auf $K$ und in der Richtung der ursprünglichen Strecke $qz$ liegt. Tut man das erneut, erhält man das Bild von $z$ unter der Inversion an $K$.

Die gewöhnliche Inversion ist die Inversion am Einheitskreis und schreibt sich durch: $\mathcal{I}=\frac{1}{\overline{z}}$

Die erste Formel habe ich mir aus der zweiten perfide hergeleitet. Ich habe mir die Inversion an $K$ so zerlegt:

• Verschiebe und Strecke $K$ auf den Einheitskreis
• Führe die gewöhnliche Inversion durch
• Verschiebe und Strecke zurück*

Eigenschaften

Inversionen haben eine Menge Eigenschaften. Das war fast ein ganzes Kapitel von Needham. Hier die, auf die ich Lust hatte

Bild einer Hyperbel

Sei $H$ die Hyperbel mit $x^2+y^2=1$ Dann ergibt die Inversion der Hyperbel die Lemniskate.

Das Ergebnis erhält man durch einen kleinen Umweg. Das komplexe Quadrat von $H$ ist eine Gerade $x=1$, die Inversion davon ist ein Kreis (Didaktik) durch 0 und 1 mit Durchmesser 1. Nimmt man davon die Wurzelfunktion erhält man die Lemniskate.

Involutorisch

Die Inversion ist involutorisch (d.h. sie vertauscht zwei Punkte)

Siehe auch

• Die Verallgemeinerung der Inversion: Spiegelung an einer beliebigen Kurve

Antikonformität

Die Inversion is antikonform

lit_thurstonThreeDimensionalGeometryTopology2014

Footnotes

1. Needham - Formel 3.4 ↩