Maximales Ideal

Definition

Ein Ideal $\mathfrak{p}$ in einem Kommutativer Ring $R$ wird maximales Ideal genannt, wenn $\mathfrak{p}\ne (1)$ ist und kein Ideal $I$ mit der Eigenschaft $\mathfrak{p}\subset I\subset (1)$ existiert, das Ideal also abgesehen vom Einheitsideal bezüglich Inklusion maximal ist.

Charakterisierung

Ideal von Körper

Sei $R$ ein Kommutativer Ring. $\mathfrak{p}$ ist genau dann ein Maximales Ideal, wenn $R/\mathfrak{p}$ ein Körper ist.[^1]

Eigenschaften

Primideal

Jedes Maximale Ideal ist ein Primideal. ¹

]: Gerkmann - Satz 7.13

Footnotes

1. Gerkmann - Folgerung 7.14 ↩