Schnittkeim

Beschreibung

Besitzen wir zwei Vektorfelder so kann man sich gut vorstellen, dass die beiden Felder auf einer kleinen Umgebung übereinstimmen. In dem Fall besitzen sie den gleichen Funktionenkeim. Der Raum aller möglichen Vektorfeldkeime ist relativ wichtig. Er kommt beispielsweise bei der Definition der Lokal stabile Abbildung zum Tragen.

Definition

Zwei Schnitte sind gleich, wenn sie auf einer Umgebung der Menge $S\subseteq M$ übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen aller solcher Keime bilden den Raum ${\Gamma }_S(E)$.

Eigenschaften

Es ist möglich, den Schnittkeim mit Trivialisationen folgendermaßen zu identifizieren. ${\Gamma }_S(TN)\cong C_S^{\infty }(⨆{\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n)=C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n{)}^S$ ${\Gamma }_S(f^{\ast }TN)\cong =C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^p{)}^S$

Definition Ein Funktionenkeim von ${\mathbb{R}}^n$ nach ${\mathbb{R}}^p$ in $0\in {\mathbb{R}}^n$ wird angegeben durch $f:({\mathbb{R}}^n,0)\to {\mathbb{R}}^p$ oder $f:({\mathbb{R}}^p)\to ({\mathbb{R}}^p,f(0))$.

Definition ${ϵ}_n^p:=\{f:({\mathbb{R}}^n,0)\to {\mathbb{R}}^p:\text{Funktionenkeim}\}$. Diese Menge ist ein lokaler Ring und enthält $m_n:=\{\in {ϵ}_n:f(0)=0\}$ als Maximales Ideal. Definiere zudem $m_n^k:=(m_n{)}^k:=\{\sum _{i=1}^s{a}_1^i...a_k^i\in {ϵ}_n:a_j^i\in m_n,s\in {\mathbb{N}}_0\}$