Abstract
Legendrian knots are defined when the ambient 3-manifold is equipped with a contact structure. Legendrian knots are classified up to Legendrian isotopy and Legendrian isotopy classes are finer than knot types. In this talk, we present several invariants of Legendrian knots, including the classical invariants (the Thurston-Bennequin number and the rotation number) and rack coloring invariants.
Definitions
Für eine -Mannigfaltigkeit definieren wir iene Kontaktstruktur. (Zuordnungen von Ebenen für jeden Punkt der -Mannigfaltigkeit)
Ein Knoten ist ein Legendre Knoten, wenn er tangential zu jeder Ebene der Kontaktstruktur ist. Legendre Knoten haben üblicherweise glatte Teile und Spitzen (cusp).
Zwei Knoten sind Legendre Isotopie, wenn sie durch Legendre Knoten verbunden werden können. Legendre Knoten werden üblicherweise bis auf diese Isotopie klassifiziert. Diese ist feiner als die übliche Klassifikation von Knoten.
Knoten in werden üblicherweise durch sogenannte Front Diagram (Projektion in die ersten beiden Variablen) dargestellt. Kontaktstrukturen in sind so definiert, dass sie nie senkrecht sind. Daher gibt es eine natürliche Projektionsrichtung.
Analog zu Reidemeister Bewegung erhalten wir eine schwächere/feinere Legendre Reidemeister Bewegung. Wir suchen allerdings nun zusätzlich Invarianten, die Legendre Isotopieklassen unterscheiden können. Diese enthalten
- Thurston-Bennequin number: Wir folgen den Knoten und Zählen wir oft sich die Flächen drehen
- Rotation number Rotation des Tangentialvektors entlang des Knotens.
- Legendre Kontakthomologie
- Ruling Polynom
- Rack coloring Diagramm
Die ersten Invarianten sind als klassche Invarianten bekannt.
Wir beschreiben einige Abschätzungen der Legendre-Invarianten und ihre Bezüge zum Geschlecht (Knoten).
Wir nennen einen Knotentypen Einfach Legendre wenn die klassischen Invarianten den Knoten eindeutig festlegt.
Rack coloring
Wir definieren das Rack als eine Verallgemeinerung des Quandle. (alles sehr algebraisch…) Wir ordnen jedem Zweig eines Diagramms ein Rack zu. (Ähnlich wie bei der n-Färbung müssen dabei gewissen algebraische Eigenschaften erfüllt sein)