Konferenz Sugawara - Handle decompositions and Kirby diagrams for the complement of plane algebraic curves

Abstract

The complement of complex plane algebraic curves are well studied from topological and algebro-geometric viewpoints. In this talk, we will describe explicit handle decompositions and Kirby diagrams for the complement of plane algebraic curves. The method is based on the notion of braid monodromy, which is useful technique to compute the fundamental group and the homotopy type. We refine this technique to obtain handle decompositions and Kirby diagrams.

1. Introduction

Betrachte den Komplementärraum $M$ einer algebraischen Kurve. Was ist dessen Topologie? Was ist dessen Fundamentalgruppe, was ist dessen Homotopietyp (auch “Braid Monodromy/Zopf Monodropie”), was ist dessen Henkelzerlegung?

2. Zopfmonodromie

Sei $C=\{(x,y)in{\mathbb{C}}^2:f(x,y)=0\}$ eine Kurve und $\pi$ die Projektion auf die erste Variable. $L_p:={\pi }^{-1}(p)$

Die lokale Monodromie erzeugt einen Zopf: Sei $p_i\in U_i$ eine kreisförmige Umgebung um einen Punkt. Der Rand ist ein Kreis. Wandert man um den Kreis, ändern sich die Positionen der Singularitäten Zopfartig.

Wir stellen außerdem eine Beziehung zwischen Henkelzerlegungen und der Fundamentalgruppe fest, wo die Erzeuger der Fundamentalgruppe die $1$-Henkel sind und die Generatoren mit $2$-Henkeln korrespondieren

3. Hauptresultate

Sei $D$ eine große Kreisscheibt, sodass $S_1,...,S_N\subseteq D$. Sei $\nu$ eine kleine generische reguläre Nachbarschaft um die Kurve $C$.

4. Henkelzerlegungen