Allgemeine Tschebyscheff-Ungleichung

Beschreibung

Die Tschebyscheff-Ungleichung ist eine Vorstufe zum Schwaches Gesetz der Großen Zahlen (Didaktik). Es gibt eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass sich Werte weit weg von $0$ oder einem Erwartungswert bewegen, an.

Das ist nützlich, wenn man Abschätzen möchte, dass Bernoulli-Experimente nicht nach unendlich abhauen können.

Hamming und Deckert definierten Tschebyschaffs Satz unterschiedlich. Gut möglich, dass von unterschiedlichen Sätzen die Rede ist.

Definition Deckert

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $A\in \mathcal{A},c\in {\mathbb{R}}_0^{+}$ und $X\ge 0$ nicht-negative Vergröberung mit $\omega \in A:X(\omega )\ge c$. Dann gilt: $\mu (X)\ge cP(A)$

Definition Hamming

Sei $X$ eine Zufallsvariable und $x_i$ dessen Ergebnisse. $Pr\{|x_i|\ge \epsilon \sigma \}$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass sich $x_i$ weiter als $\epsilon$ Standardabweichungen $\sigma$ entfernt ist. Es gilt $Pr\{|\mu -x_i|\ge \epsilon \sigma \}\le E(X^2)/(\epsilon \sigma {)}^2$

Eigenschaften

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