2-Doppeltorus

Beschreibung

Der 2-Doppeltorus auch (Genus-2-Fläche) ist eine Fläche, bestehend aus zwei 2-Torus.

Definition

Identifikation der Seiten eines Achteckes

Nehmen wir ein Achteck und bezeichnen dessen Kanten im Uhrzeigersinn als $ab{a}^{-1}{b}^{-1}cd{c}^{-1}{d}^{-1}$ oder $abcd{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}{d}^{-1}$ und identifizieren Seiten mit gleichem Namen, erhalten wir einen Doppeltorus.

Identifikation der Seiten eines Zehnecks

Nehmen wir ein Zehneck und bezeichnen dessen Kanten im Uhrzeigersinn als $abcde{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$ und identifizieren Seiten mit gleichem Namen, erhalten wir einen Doppeltorus.

Eigenschaften

Symmetrien

Der doppelte Torus hat einige sehr interessante Symmetrien:

• $3$-Symmetrie: Man kann den Doppeltorus als drei Pfeiler zwischen zwei dreieckigen Flächen verformen und erhält dadurch eine $3$-Symmetrie
• $8$-Symmetrie: Der Doppeltorus entsteht durch Identifikation gegenüberliegender Seiten eines $8$-Ecks. Die Rotation des $8$-Ecks induziert einen Homöomorphismus mit Ordnung $8$ auf dem Doppeltorus
• $10$-Symmetrie: Analog wie Symmetrie $8$

Universelle Überlagerung

Da man einen Doppeltorus durch Kurven in ein $8$-Eck zerschneiden kann und da die diese Kurven die Umrundungen einer Kurve zählen und da sich das Achteck in der Hyperbolische Geometrie Kacheln lässt, ist ${\mathbb{H}}^2$ die Universelle Überlagerung des doppelten $2$-Torus.

urstonThreeDimensionalGeometryTopology2014]]