Abstract
Grid homology is a combinatorial reconstruction of the knot Floer homology. It is an interesting problem whether the known results of knot Floer homology can be shown in the framework of grid homology. In this talk, we will work with the minus avor of grid homology and show a Kunneth Formel for the knot Floer homology of connected sums in a combinatorial way. In addition, we will give a combinatorial proof of the additivity of some knot Floer invariants
Talk
Es gibt verschiedene Versionen von Grid-Homology für einen gegebenen Knoten.
- Können wir Beziehungen zu anderen Homologietheorien aufbauen.
- Können wir neue Invarianten, basierend auf der Homologie definieren?
Einige Eigenschaften der Grid Homologie (GH)
- GH kategorifiziert das Alexander Polynom (was ist eine Kategorifikation?)
- Noch ein paar andere
Anwendungen der GH: Es gibt Legendrian Grid Diagramme, mit denen man Knoten als Legendre Knoten darstellen kann. Aus den Diagrammen lassen sich neue Invarianten gewinnen (Ozsvath, ‘08). Eine der Invarianten ist äquivalent zu der soganannten LOSS-Invariante.
Wir definieren was ein Gitter-Diagramm (Grid Diagram) ist. Die sehen ein bisschen aus wie Dame-Bretter.
- Jeder Knoten kann durch ein Gitterdiagram dargestellt werden
- Zwei Diagramme die den gleichen Knoten darstellen, können durch elementare Schritte ineinander überführt werden. (Es gibt auch irgendeinen Zusammenhang zu Reidemeister Bewegung?)
Wir können Punkte auf dem Gitterdiagrammen definieren. Daraus erzeugen wir die Kettenkomplex, das Differential und damit die Gitterhomologie.
Die Gitterhomologie erlaubt zwei graduierte Versionen, das Maslov grading und Alexander grading.
Wir beschreiben ein einfaches Diagram, dass den trivialen Knoten beschreibt.
Main result
Die Summe zweier Knoten kann recht simpel durch das Zusammenkleben zweier Diagramme definiert werden. Daraus folgen nette Eigenschaften für die Homologie. Nämlich erhalten wir eine Künneth Formel
Der Sprecher überspringt eine Menge Zeugs.
Durch Anwendung der Diagramme bekommen wir eine neue Invariante, die Legendre Gitterinvariante. Knoten, die Legendre-Invariant sind, haben isomorphe Invarianten.