Unabhängigkeit (Stochastik)

Beschreibung

Definition Unabhängigkeit von Ereignissen

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein W-Raum. Dann nennen wir eine Familie von Ereignissen $(A_i{)}_{i\in I}\in {\mathcal{A}}^I$ stochastisch unabhängig bezüglich $P$, wenn $\forall \varnothing \ne E\subseteq I$ mit $|E|<\infty$ gilt: $P({\bigcap }_{i\in E}{A}_i)={\prod }_{i\in E}P(A_i)$

Das ist einfach eine Verallgemeinerung der Unabhängigkeit von Ereignissen aus der Schule.

Definition Familie von Vergröberungen

Seien $X_i:(\Omega ,\mathcal{A})\to ({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$ Vergröberungen und $({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$ Messräume für $i\in I$, dann nennen wir $(X_i{)}_{i\in I}$ stochastisch unabhängig, wenn für alle Familien $(A_i{)}_{i\in I}$ mit $A_i\in {\mathcal{A}}_i,i\in I$ gilt: $P({\bigcap }_{i\in I}{X}_1^{-1}{A}_i)={\prod }_{i\in I}P(X_i^{-1}{A}_i)$

Die $X_i$ sind Zufallsvariablen. Hier wird also die Unabhängigkeit von Zufallsexperimenten definiert, wie man sie aus der Schule erwarten würde.

Definition Unabhängigkeit Familie von Mengensysteme

Seien $({\mathcal{F}}_i{)}_{i\in I}$ mit $\varnothing \ne {\mathcal{F}}_i\subseteq \mathcal{A}$ eine Familie von $\cap$-stabilen Mengensystemen. Wir nennen sie stochastisch unabhängig bzgl. P, wenn für alle $(A_i{)}_{i\in I}$ mit $A_i\in {\mathcal{F}}_i,i\in I:(A_i{)}_{i\in I}$ stochastisch unabhängig ist.

Diese Definition ist am schwierigsten zu durchdringen. Ich glaube man will hier auf eine einfachere Weise zeigen, dass die Sigma-Algebra der Mengensysteme zueinander unabhängig ist. Das Eintreten eines Ereignisses aus einer Algebra beeinflusst nicht das Auftretten eines Ereignisses in den anderen.

Eigenschaften

Eigenschaft

Es gilt $(X_i{)}_{i\in I}$ unabhängig genau dann wenn die Von Vergröberung erzeugte Sigma-Algebra $(\sigma (X_i){)}_{i\in I}$ unabhängig.

Tip

Seien $\mathcal{F},\mathcal{G}\mathcal{A}$ zwei $\cap$-stabile nicht-leere unabhängige Mengensysteme. Dann sind auch $\sigma (\mathcal{F}),\sigma (\mathcal{G})$ unabhängig

Keine Korrelation

Seien $X,Y\in L^1(\Omega ,\mathcal{A},P)$ und $(X,Y)$ unabhängig, dann gilt: $\mu (XY)=\mu (X)\mu (Y)$ und in Folge $Cov(X,Y)=0$.

Interessanter weise gilt die Umkehrung des letzten Satzes nicht. Es gibt also abhängige, unkorrelierte Größen

Beispiele

Example

Das Unabhängiges Mengensystem ${\mathcal{D}}_B$ ist unabhängig.