Beschreibung
Die Bernoulli-Abbildung ist eine einfache chaotische Abbildung auf dem Einheitsintervall mit spannenden Eigenschaften. Siehe Wikipedia für mehr Infos.
Definition
Für ein ist die Bernoulli Abbildung definiert als
Eigenschaften
Bernoulli Abbildung mit
Ist , so verhält sich die Abbildung sehr lustig mit den binären Zahlen. Durch das Verdoppeln werden alle Ziffern nach links geschoben und dann word die Vorkommastelle entfernt. Ds füht zu folgendem Verhalten:
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Rationale Zahlen mit endlicher inärer Darstellung landen irgendwann in einem Fixpunkt
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Rationale Zahlen mit unendlicher periodischer Darstellung landen irgendwann in einem periodischem Attraktor
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Irrationale Zahlen bilden einen aperiodischen Attraktor
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\H}{\mathbb H}