Beschreibung
Der Pushforward ist das Gegenteil des Pullback und wird genutzt um ein Vektorfeld (Vektorraum) entlang eines Diffeomorphismus zu bewegen.
Definition
Definition durch Differential
Sei ein Vektorfeld und dann lässt sich das Pushforward von durch auf folgende Weise definieren: Dies ist ein Vektorfeld auf .
Wir schreiben den Pushforward als Abbildung:
Definition durch Derivation
Sei die Globale Derivation, die zugeordnet werden kann. Dann ist der Pushforward definiert durch:
Die Formel folgt direkt aus der Gleichung:
Diese Formel erhält man durch die Definition des Differential einer Mannigfaltigkeitenfunktion aus der vorherigen Definition.
Hinweis
Es gibt einen Unterschied zwischen den beiden Vektoren und . Der erste Term schiebt das ganze Vektorfeld entlang und gibt dann den Vektor im Punkt aus. Der zweite Term gibt den Bildvektor des Vektors auf unter an.
Eigenschaften
Einfache Rechenregeln
Sei eine glatte Funktion. Dann gilt
Verkettung
Der Pushforward erfüllt einfache Verkettungseigenschaften.
Erhaltung der Klammer
Es gilt für die Lie Klammer von Vektorfeldern
Beweis: Einfach, wenn man die entsprechenden Derivation behandelt.
Pushforward der lokalen Gruppe
Sei die Lokale Einparametrige Gruppe eines Vektorfeldes . Die lokale Gruppe zu ist .