Exakte Differentialgleichung

Definition

Seien

• $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ein Gebiet
• $f:U\to \mathbb{R}$ stetig
• $g:U\to \mathbb{R}$ stetig

Eine Implizite Differentialgleichung $f(t,x)+g(t,x)x^{\prime }=0$ heißt exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion $F:U\to \mathbb{R}$ gibt mit (grad F)(t, x)= \begin{pmatrix}f(t, x) \\ g(t, x) \end{pmatrix} \text{ für alle }(t, x)\in U \tag{1} In diesem Fall heißt F Stammfunktion für $(1)$[^1]

Äquivalente Definition I

Seien

• $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ eine Sternförmige Menge
• $f:U\to \mathbb{R}$ stetig partiell differenzierbar
• $g:U\to \mathbb{R}$ stetig partiell differenzierbar

gilt $\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}$ dann heißt $f(t,x)+g(t,x)x^{\prime }=0$ exakt¹

Lösung

Seien

• $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ein Gebiet
• $f:U\to \mathbb{R}$ stetig
• $g:U\to \mathbb{R}$ stetig

Sei

• $I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall mit nichtleerem Inneren

Eine Funktion $\lambda :I\to \mathbb{R}$ ist genau dann eine Lösung von $(1)$, wenn

1. $\lambda$ ist stetig differenzierbar
2. $F(t,\lambda (t))=c\in \mathbb{R}$ für jedes $t\in I$²

Startwertproblem

Sei $(t_0,x_0)\in U$ ein Startzustand einer Exakten Differentialgleichung

Gilt $g(t_0,x_0)\ne 0$, dann hat das Startwertproblem $x(t_0)=x_0$ eine lokal eindeutige Lösung $\lambda :]t_0-\beta ,t_{ß}+\beta [$, die sich durch Auflösen von $F(t,\lambda (t))=F(t_0,x_0)$ bekommen lässt.

: Zenk - Definition 17.3.1

Footnotes

1. Zenk - Bemerkung 17.3.5 ↩

2. Zenk - Satz 17.3.2 ↩