Globale Geodätische

Beschreibung

Eine Geodätische ist die Verallgemeinerung von Geraden. Sie gibt eine Definition von Geraden auf metrischen Räumen, die nicht euklidisch sind.

Definition

Definition durch Einbettung

Gibt es eine Isometrische Einbettung $f:\mathbb{R}\to X$, so wird $f(\mathbb{R})$ eine Geodätische genannt.

Metrische Definition

Eine Teilmenge $X\subset {\mathbb{R}}^2$ ist eine Geodäte, wenn zugleich gilt

• $X$ ist Teilmenge einer (affinen) Gerade
• $X$ ist konvex
• Für alle $r>0$ und für alle $p\in X$ gibt es zwei verschiedene $q_1,q_2\in X$ sodass $d(p,q_1)=d(p,q_2)=r$ Dieser Punkt unterscheidet Geraden von Strahlen und Sementen

$X$ ist genau dann eine Teilmenge einer affinen Geraden, wenn für beliebige drei Punkte der Menge $X$ gilt:

Punkte auf einer Geraden

Drei Punkte $p,q,r$ liegen genau dann auf einer affinen Geraden, wenn (nach Vertauschung) $d(p,r)=p(p,q)+p(q,r)$ Das sollte als Definition für eine Gerade als Objekt der Euklidischen Geometrie verwendet werden können.

Metrischer Begriff

Die Gerade lässt sich durch eine Metrik definieren. Damit bleibt die Gerade unter Isometrie erhalten. Sie ist ein Metrisches Objekt

\newcommand{\R}{\mathbb R}