Orientierbare Mannigfaltigkeit

Beschreibung

Eine Orientierbare Mannigfaltigkeit, ist eine Differenzierbare Mannigfaltigkeit, die nicht notwendigerweise aus Karten besteht, die Orientierungserhaltende Abbildung sind, die aber durch solche ersetzt werden können.

Definition

Eine Glatte Mannigfaltigkeit wird Orientierungserhaltende Abbildung, wenn sie kompatibel mit einem Orientierter Atlas ist.

Charakterisierung

Existenz einer nichtleeren Volumenform

Eine $n$-dimensionale Glatte Mannigfaltigkeit $M$ ist orientierbar genau dann, wenn es eine Volumenform $\omega \in {\Omega }^n(M)$ mit $\omega (p)\ne 0$.

Orientierbarkeit der Tangentialräume

Eine Glatte Mannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn es für jedes $T_{p}M$ die Wahl einer Orientierung (Lineare Algebra) mit der Eigenschaft gibt: Für jedes $p\in M$ existiert eine offene Umgebung $U$ und ein Diffeomorphismus $\phi :U\to V\subseteq {\mathbb{R}}^n$, sodass für jedes $q\in U$ die Abbildung $d_q\phi :T_{q}M\to T_{\phi (q)}V\cong {\mathbb{R}}^n$ die Orientierung von $T_{q}M$ auf die gleiche Orientierung von ${\mathbb{R}}^n$ abbildet.

Kapier ich nicht

Frage: Wähle eine geordnete Basis $b_1,...,b_n$ für jeden Tangentialraum $T_{p}M$. Charakterisiere eine Orientierbare Mannigfaltigkeit. Antwort: Eine $n$-dim Mannigfaltigkeit von ${\mathbb{R}}^{n-1}$ ist orientierbar, g.d.w. ein Atlas alle Basisvektoren von $T_q$ mit positiver Permutation auf die Basisvektoren $e_1,...,e_n\in {\mathbb{R}}^n$ abbildet.

Orientierbarkeit von Unterräumen von R

Sei $X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ eine Untermannigfaltigkeit von R von Dimension $n-1$. $X$ ist orientierbar genau dann, wenn ein nirgens verschwindendes Normalen-Vektorfeld $V:X\to {\mathbb{R}}^n$ existiert.

Beispiele

Implizite Funktionen

Sei $F:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ eine glatte Funktion und $p\in \mathbb{R}$ ein regulärer Wert. Dann ist $F^{-1}(x)$ orientierbar.