Wahrscheinlichkeitsmaß

Beschreibung

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß, das die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen angibt.

Definition

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein Maßraum. Gilt $P(\Omega )=1$ so ist das mathematische Objekt $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ einen Wahrscheinlichkeitsraum, versehen wir den Raum zusätzlich mit informalen Informationen, so sagen wir dazu Wahrscheinlichkeitsmodell

Eigenschaften

Vererbung der Sigma-Algebraeigenschaften

Das Wahrscheinlichkeitsmaß erbt viele Eigenschaften der in der Definition verwendeten Objekte. Einige Eigenschaften sind.

• Für disjunkte, abzählbar viele $A_i$ $P(\bigcup A_i)=\sum P(A_i)$
• $P(A\cup B)+P(A\cap B)=P(A)+P(B)$
• $P(A^c)=1-P(A)$
• Monotonie: $A\subseteq B⟹P(A)\le P(B)$
• Stetigkeit: Sei $A_1\subseteq A_2...⟹{\lim }_{n\to \infty }P(A_n)=P({\bigcup }_{n\in \mathbb{N}{A}_n})$ Sei $A_1\supseteq A_2...⟹{\lim }_{n\to \infty }P(A_n)=P({\bigcap }_{n\in \mathbb{N}{A}_n})$

Eindeutigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen

Sei $(\Omega ,\mathcal{A})$ ein Ereignisraum und $P,Q$ Wahrscheinlichkeitsmaße darauf und $\mathcal{M}$ ein $\cap$-stabiler Erzeuger von $\mathcal{A}$. Dann gilt für alle $A\in \mathcal{M}:P(A)=Q(A)⟹P=Q$