Schwache Retraktionsdeformation

Beschreibung

Ein Topologischer Raum heißt zusammenziehbar, wenn er homotop zu einem Punkt ist. Es handelt sich somit in der Homotopie um die trivialen Räume.

Definition

Ein Topologischer Raum $X$ heißt zusammenziehbar, wenn es eine stetige Abbildung $H:X\times [0,1]\to X$ gibt sodass

• $H(x,0)=x$
• $H(x,1)=p$

Das ist äquivalent dazu, dass die Identität nullhomotop, d.h. Homotop zu einer konstanten Funktion ist.

Eigenschaften

Erhalten durch Stetige Abbildung

Komposition der Nullhomotopie mit einer stetigen Abbildung zeigt, dass stetige Abbildungen Zusammenziehbarkeit erhalten.

Invariant nach Zusammenziehen von Unterräumen

Ist $(X,A)$ ein Paar von Zellkomplex und einem zusammenziehbaren Teilkomplex $A$, dann ist die Quotientenabbildung $X\to X/A$ eine Homotopieäquivalenz. In Folge bleibt der Quotient zusammenziehbar.

Beispiel

Offensichtlich nicht zusammenziehbare Räume und ein überraschend zusammenziehbarer Raum

Die Sphären $S^n$ sind nicht zusammenziehbar. Die unendliche Sphäre $S^{\infty }$ ist zusammenziehbar. Die Nullhomotopie erhält man, indem man jede eingebettete Sphäre $S^n$ als Äquator der eingebetteten Sphäre $S^{n+1}$ interpretiert und dann alle Äquatore über die obere Hemisphäre zieht.

Zusammenziehbarer Raum, der keine Retraktionsdeformation ist

Betrachte den folgenden Raum bestehend aus einer Vereinigung von Kämmen. Die Kämme haben einen Kamm für jede rationale Zahl zwischen $0$ und $1$. Der Raum ist zusammenziehbar, indem man erst jeden Punkt um $1$ nach rechts fließen lässt und dann die Zick-Zack-Linie zusammenzieht. Der Raum ist nicht zu einem Punkt Retraktionsdeformierbar, da dazu ein Punkt fix bleiben müsste und das wegen Stetigkeit nicht geht, wenn anliegende Zähne wegfließen.