Klassifikation der 3-D Isometrien

Beschreibung

Hier werden alle Isometrien im Dreidimensionalen Klassifiziert.

Definition

Eigenschaften

Affinität

Jede Isometrie in ${\mathbb{R}}^n$ ist eine Affine Funktion, haben also die Form $f(x)=Ax+p$

Beweis: Jede Isometrie, die den Ursprung als Fixpunkt hat, muss linear sein und Orthogonalitäten und Längen enthalten also ein Teil von der Orthogonalen Gruppe $O(3)$ sein.

Indem man von einer beliebigen Isometrie in ${\mathbb{R}}^3$ das Bild des Ursprungs $p$ abzieht, erhält man eine Isometrie, mit dem Ursprung als Fixpunkt. Damit gilt obere Form.

Determininante

Jeder Lineare Teil einer Isomentrie in ${\mathbb{R}}^n$ hat die Determinante $\pm 1$.

Klassifikation

Jede Lineare Abbildung in ${\mathbb{R}}^3$ hat mindestens einen reellen Geometrischer Eigenwert. Desweiteren ist das Produkt aller Eigenswerte $\pm 1$ und zwei komplexe Eigenwerte müssen komplex konjugiert sein.

Damit kann man zeigen, dass jede Isometrie eine Fixebene hat. Mit dieser Erkenntnis ergeben sich folgende Möglichkeit für die Matrix $A$:

• Punktspiegelung (Eigenwerte: $-1,-1,-1$)
• Rotation um eine Rotationsachse (Eigenwerte: $1,z,\bar{z}$)
• Spiegelung entland einer Ebene (Eigenwerte: $-1,1,1$)
• Rotation und Spiegelung einer Ebene (Eigenwerte $-1,z,\bar{z}$)

Konstruierbarkeit eines Symmetriekörpers

Angenommen $\Gamma <SO(3)$ endlich, dann gibt es ein Polytop, mit der Symmetriegruppe $\Gamma$.

Beispiele

Klassifikation der endlichen 3-D-Rotationen

Siehe Klassifikation der endlichen 3-D-Rotationenssymmetrien