Definition

Sei $G$ eine Abelsche Gruppe und $m \in N$

Man nennt $G [m] = {g \in G : m g = 0_{G}}$ die $m$ -Torsionsgruppe von $G$
Die Teilmenge $T or (G) = ⋃_{n \in N} G [n]$ wird die Torsionsuntergruppe von $G$ genannt¹

Die Torsionsgruppe ist so etwas wie der Zyklische Anteil einer Gruppe.

Torsionsfreiheit

Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe

Wir bezeichnen $G$ als torsionsfrei, wenn $T or (G) = {0_{G}}$ gilt
Die Gruppe $G$ ist frei, wenn für ein $r \in N_{0}$ ein Isomorphismus zwischen $G$ und $(Z^{r}, +)$ existiert, wobei $Z^{0} = {0}$ gesetzt wird

Jede freie Gruppe ist auch torsionsfrei (und wie ich glaube, umgekehrt)

Sei $G$ eine abelsche Gruppe

Sind $m, n$ teilerfremd, dann gilt $G [mn] ≅ G [m] \times G [n]$
Sei $n \in N$ mit $G [n] = G$ , und sei $n = \prod_{i = 1}^{r} p_{i}^{e_{t}}$ die Primfaktorenzerlegung von $n$ Dann ist $G [p_{1}^{e_{1}}] \times ... \times G [p_{r}^{e_{r}}]$ ²