Satz von Lagrange

Satz

Sei $G$ endliche Gruppe und $U$ eine Untergruppe. Bezeichne mit $G:U$ die Anzahl der Nebenklassen von $U$. Dann gilt: $|G|=(G:U)|U|$ Insbesondere ist die Ordnung $|U|$ der Untergruppe immer ein Teiler der Gruppenordnung $|G|$¹

Übungen

Klausur 2018 Aufgabe 1

a)

Die Ordnung der erzeugten Untergruppen der Elemente muss die Ordnung von $⟨g,h,k⟩$ teilen. $⟨g,h,k⟩$ ist also durch $2,3,5$ und damit durch $ggT(2,3,5)=30$ teilbar. $⟹|⟨g,h,k⟩|\ge 30$. Aber die Gruppe ist eine Untergruppe von $G$, d.h. $\le 30$

b)

Wäre es zyklisch, dann durch ein Element $(a,b),a,b\in \mathbb{Z}$ erzeugt. $⟨(a,b)⟩\{(na,nb):n\in \mathbb{N}\}$ Ist $a\ne 0$, dann ist aber $(a,0)$ kein Element der Gruppe, denn dazu müsste $n=0$ und wir erhalten das Element $(0,0)$ Ist $b\ne 0$, dann ist $(0,b)$ nach dem gleichen Argument nicht in der Gruppe. Ist $a,b=0$: dann ist $(1,1)$ kein Element der Erzeugten Gruppe.

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 4.8 ↩