Wortlänge (Gruppen)

Beschreibung

Die Wortlänge eines Gruppenelements beschreibt, wie viele Kanten man vom Neutralelement gehen muss, um das Element zu erreichen.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $S$ ein Erzeugendensystem. Die Wortlänge $L_S(g)$ beschreibt die Länge das kürzesten Wortes aus Elementen von $S$, sodass $g$ durch das Produkt herauskommt.

Eigenschaften

Produktungleichung

Es gilt $L_S(gh)\le L_S(g)+L_S(h)$

Charakterisierung durch Erzeuger

Schreiben wir ein Element aus $g\in \pi (S)$ als Produkt einer endlichen Erzeugermenge: $e_{{\mu }_1}^{{\epsilon }_1}...e_{{\mu }_n}^{{\epsilon }_n}$ , so können wir folgern: $L_S(g)\le L_S(e_{{\mu }_1}^{{\epsilon }_1})+...+\le L_S(e_{{\mu }_n}^{{\epsilon }_n})$

Aus der Gleichung ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }(a_m+b_m{)}^{\frac{1}{m}}={\mathrm{limsup}}_{m\to \infty }\max (a_m,b_m{)}^{\frac{1}{m}}$ erhalten wir $GR(\varphi )={\max }_{1\le i\le n}{\mathrm{limsup}}_{m\to \infty }(L_S({\varphi }^m{e}_i){)}^{\frac{1}{m}}$ Wenn man nun das Maximum und das Limit vertauscht, kann man zeigen, dass das Wachstum wohldefiniert ist.

Unabhängigkeit bei endlichen Erzeugersystemen

Für zwei endliche Erzeugersystem ist das Wachstum der Gruppe gleich.