Beschreibung
Die Wortmetrik beschreibt den Abstand zweier Gruppenelemente auf einem Cayley-Graph.
Definition
Sei eine Gruppe mit dem Erzeugendensystem . Der Abstand zwischen und wird definiert als die Wortlänge (Gruppen) von
Eigenschaften
Vom Graphen abhängig
Die von Cayley-Graphen induzierten Metriken sind im allgemeinen nicht isometrisch (vor allem weil die Anzahl der Erzeuger nicht mal gleich sein muss).
Bi-Lipschitzäquivalent
Die von Cayley-Graphen induzierten metrischen Räume sind jedoch bi-lipschitzäquivalent.
Beweis: Ein Gruppenelement lässt sich als Produkt von Erzeugern schreiben . Mit einem anderen Erzeugendensystem kann man nun jedes der oberen Erzeuger ausschreiben: . Bezeichnet man mit die Länge des längsten Wortes der Erzeuger so kann als Wort des Alphabets geschrieben höchstens die Länge haben.