Orbit (Gruppenoperation)

Beschreibung

Der Orbit (auch Bahn) ist die Menge aller Punkte, die man durch Anwendung einer Gruppenoperation von einem bestimmten Punkt erreichen kann.

Definition Orbit nach Cayley

Sei $G$ eine Gruppe, die durch eine Gruppenoperation auf $Perm(S)$ abbildet. Die Gruppenoperation kann durch ein Operationendiagramm dargestellt werden. Der Orbit eines Elements $s\in S$ ist die Menge, der Elemente (aus $S$), die von durch Pfeile mit $s$ verbunden sind.

Damit gleicht die Definition dem anderen Orbit (Erzeugte Gruppe). Der wird auch über verbundene Pfeile eines Diagramms definiert.

Definition Orbit nach Gerkmann

Sei $G$ eine Gruppe, $X$ eine Menge und $G\times X\to X,(g,x)\mapsto g\cdot x$ eine Gruppenoperation Für jedes $x\in X$ nennt man $G(x)=\{g\cdots x:g\in G\}$ die Bahn/Orbit von $x$

Eigenschaften

Die Orbits bilden eine Zerlegung der Menge $X$¹

lit_arnoldOrdinaryDifferentialEquations1992

Footnotes

1. Gerkmann - Proposition 9.3 ↩