Eigentlich gewichtete Pi1-Zugstrecke

Beschreibung

Die eigentlich gewichtete ${\pi }_1$-Zugstrecke ist eine Pi1-Zugstrecke, wo jede Kante ein Gewicht besitzt. Die Gewichte folgen einer Vereinfachten Weichenregel.

Die Terminologie ist hier ein bisschen merkwürdig. Die Bedingungen der Eigentlichkeit, werden im Fall der normalen Zugstrecke standardmäßig gefordert.

Definition

Eine gewichtete ${\pi }_1$-Zugstrecke auf einem Fundamentalbereich $R$ heißt eigentlich, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Die Summe aller Gewichte auf zwei zugehörigen Kanten von $R$ ist gleich
2. Es gibt keine Kurve, die einmal um eine Bohrung läuft. (D.h. die Zugstrecke umfasst keinen durchbohrte Kreisscheibe ohne Spitzen)

Die Menge aller eigentlichen Gewichtungen $\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ auf $\tau$ wird mit $W(\tau )$ bezeichnet. Die Menge aller ganzzahligen eigentlichen Gewichtungen $\in {\mathbb{N}}_0$ auf $\tau$ wird mit $W_{\mathcal{O}}$ bezeichnet.

Eigenschaften

Satz: Ergebnis von disjunkten essentiellen Kurven.

Auf dem $p$-durchbohrten Torus $T_p$ können gibt es maximal $p$ disjunkte Isotopieklassen geschlossener, essentieller Kurven. Eine Menge von paarweise disjunkten Kurven auf $T_p$ lässt sich damit als $m_1{\gamma }_1+...+m_p{\gamma }_p$ beschreiben, wobei ${\gamma }_i$ Isotopieklassen sind. (Ein ähnliches Ergebnis gilt auf anderen Flächen)

Fassen wir nun alle parallelen Kurven zu einer Kurve zusammen und schneidet dann die Mannigfaltigkeit entlang des Fundamentalbereich, dann erhält man eine eigentlich gewichtete Zugstrecke. Umgekehrt beschreibt jede ganzzahlig gewichtete eigentliche ${\pi }_1$-Zugstrecke eine Mehrfache einfache essentielle Kurve.

Das gleiche Vorgehen funktioniert auch für eine Laminierung (d.h. der Grenzwert einer vieler Kurvenmengen)

Satz: Identifikation mit Laminierungen

|Raum der messbaren Laminierungen]] kann identifiziert weEigentlich gewichtete Pi1-Zugstrecke|eigentlichen Gewichtungen]] von ${\pi }_1$-Zugstrecken.

Anal identifiziert werden mit dem Raum der projektiven eigentlicikation mit mehrfachen Kurven Die Menge der [[Mehrfachethcal{O}}(\Sigma)$kannidentifiziertwerdenmitderMengeder[[EigentlichgewichtetePi1-Zugstrecke]]$W_{\mathcal{O}}(\Sigma)$.Analogkannde[](Mehrfache$\mathcal{PML}{\mathcal{O}}(\Sigma)$identifiziertwerden[](Eigentlich$PW{\mathcal{O}}(\Sigma)$