Isotopie

Beschreibung

Wie im Artikel der Homotopie beschrieben sind die Homotopie und der Homöomorphismus zwei vollkommen unterschiedliche Sachen. Die Isotopie bringt da ein wenig Ordnung, indem sie ein Spezialfall der Homotopie und des Homöomorphismus ist. Wir bezeichnen zwei Objekte als isotop, wenn die stetige Verformung durch homöomorphe Objekte geschieht. Der Pragmatische Unterschied ist, dass wir Isotopie oft bei Funktionenräumen verwenden, wo wir uns wünschen, dass bestimmte Eigenschaften (wie Glatter Diffeomorphismus) erfüllt bleiben. Homotopie ist hingegen eher bei Funktionen interessant, deren Mengen wir betrachten (z.B. Kurven).

Definition

Isotopie von Diffeomorphismen

Seien $\varphi ,\psi :M\to N$ (glatte) Diffeomorphismen. Die beiden Diffeomorphismen sind isotop, wenn sie durch stetig variierende glatte Diffeomorphismen $H_t$ (eine Isotopie) miteinander verbunden sind: $H_t:M\to N,t\in [0,1],H_0=\varphi ,H_1=\psi$

Isotopiegruppe (Diffeomorphismen)

Die Gruppe aller Diffeomorphismen $M\to M$, die isotop zur Identität sind, wird als die Isotopiegruppe bezeichnet: ${\text{Diff}}_0(M)$

Beispiele

Negativbeispiel Spiegelung von $[-1,1]$

Betrachte die Verformung von $[-1,1]$ in $[-1,1]$ durch stetiges Vertauschen der Endpunkte. Dies ist eine Homotopie und Anfang und Endmengen bilden einen Homöomorphismus. Es ist jedoch keine Isotopie, da zwischendrin ein Intervall auf einen Punkt komprimiert wird.

lit_thiffeaultBraidsDynamics2022 lit_BasicResultsBraid lit_maretForcingRelationsPeriodic2018