Invariante Zugstrecke

Beschreibung

Eine Invariante Zugstrecke beschreibt das Vorgehen, bei dem sich eine Zugstrecke nach dem Anwenden einer Abbildung auf ihr Urbild wickeln lässt. Invariante Zugstrecken sind neben dem Agol Zykel eine weitere Methode, den Zusammenhang zwischen Zugstrecke und Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus zu erforschen.

Definition

Eine Zugstrecke wird invariant bezüglich $f$ genannt, wenn $f$ isotop zu einem Diffeomorphismus $\varphi$ ist, sodass $\tau$ trägt $\varphi (\tau )$.

Ist invariant, so ist die Inzidenzmatrix (Zugstrecke) wohldefiniert. Eine alternative Definition erhält man, iUmgebung der Zugstrecke betrachtet.

Definition

Eine Zugstrecke ist invariant bezüglich $f$, wenn wenn $\sigma =f(\tau )$ isotop zu einer Zugstrecke ${\sigma }^{\prime }\subseteq N(\tau )$ ist, sodass ${\sigma }^{\prime }$ transversal zu allen Bindungen ist.
In dem Fall wird $\tau$ von $f$ getragen.

Die Anzahl der Schnitte mit den Bindungen ist der Schlüssel zu Berechnung der Inzidenzmatrix (Zugstrecke)

Eigenschaften

Satz: Bedingung für pA-Abbildung

Sei $f:S\to S$ eöomorphismus einer Fläche $S$, sodass es eine invariante Zugstrecke $\tau \subseteq S$ mit den folgenden Eigenschaften gibt:

1. $\tau$ ist zusammenhängend und füllt die Fläche (d.h. jeder Komplementist homöomorph zur Kreisscheibe oder zur einfach punktierten Kreisscheibe)
2. Die Inzidenzmatrix $M$ zu den Kanten $e_1,e_2,...,e_k$ von $\tau$ hat einen reellen maximalen Eigenwert $\lambda >1$, (d.h. $|{\lambda }^{\prime }|<\lambda$ für jeden anderen (komplexen) Eigenwert)
3. Der hheit]] $1$ und der Eigenraum wird von einem streng positiven Eigenvektor aufgespannt (pos. in allen Komponenten)
4. Das Zuordnen der Gewichte $v_1,v_2,...,v_k$ zu den Zweigen $e_1,...,e_k$ verwandelt $\tau$ in eine Messbare Zugstrecke.

Dann ist $f$ isotop zu einem Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus mit Dilatation $\lambda$.

Beweis:

Die ob[](Messbzungen des Perron-Frobenius Satz perfekt wieder.

Satz: Konstruktion aus Bestvina-Handel

Der Bestvina-Handel-Algorithmus konstruiert eine Invariante Zugstrecke aus einem Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus.