Zusammenhang (Hauptfaserbündel)

Beschreibung

Wir verallgemeinern die Bedeutung des Linearer Zusammenhang auf Hauptfaserbündel. Während wir vorher den Effekt auf einen Vektor bei einer infinitesimalen Bewegung betrachteten, sehen wir uns nun den Effekt auf ein Gruppenelement an. Die infinitesimale Veränderung eines Lie-Gruppenelements ist durch den Tangentialraum, d.h. durch die Lie Algebra $\mathfrak{g}$ gegeben.

Definition

Sei $\pi :P\to M$ ein Hauptfaserbündel mit der Strukturgruppe $G$. Die Gruppe wirke durch $R:P\times G\to P$.

Wir wollen nun einen Zusammenhang definieren, der in einem Punkt die folgende Signatur hat ${\nabla }_p:TP\times G\to \mathfrak{g}$. Das Ergebnis ist konkret eine $\mathfrak{g}$-wertige $1$-Form $\omega \in {\Omega }^1(P,\mathfrak{g})$ (also eine Funktion, die an jedem Punkt einen Vektorentgegennimmt und ein Element der Lie-Algebra ausgibt). Eingeschränkt auf den Lie-Gruppen-förmigen Fasern sollte sie die beiden Bedingungen erfüllen:

• $(d{R}_g)\omega =\text{Ad}(g^{-1})(\omega )$ für alle $g\in G$
• $\omega (X^{\#})=X$ für alle $X\in \mathfrak{g}$

$R_g:P\to P$ ist die Rechtmultiplikation, definiert durch $R_g(p)=R(p,g)$, $\text{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g})$ ist die Adjungierte Darstellung. $X^{\#}$ ist das fundamentale Vektorfeld (also das eindeutige Linksinvariantes Vektorfeld (Lie-Algebra)) und definiert durch $X^{\#}(p):=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{R}_{\exp (tX)}(p)$

Ist das nicht einfach das induzierte Links-invariante Vektorfeld?

Eigenschaften

Eigenschaft

lit_nozakiFilteredInstantonFloer2022