Beschreibung
Sei eine glatte Abbildung zwischen zwei Glatte Mannigfaltigkeit. Wie können wir die Ableitung am besten beschreiben?
Eine Ableitung oder ein Differential soll eine Lineare Funktion sein und sie soll der Kettenregel folgen. Sie soll angeben, wie sich ein Funktionswert verändert, wenn man eine kleine (tangentiale) Änderung macht.
Sie hat also die Signatur: .
Wir haben Tangenten auf unterschiedliche Weise charakterisiert. In Folge erhalten wir auch für das Differential verschiedene Charakterisierungen.
Definition
Sei eine Glatte Abbildung zwischen zwei Glatte Mannigfaltigkeit. Die Ableitung an einem Punkt soll eine Lineare Funktion zwischen zwei Vektorräumen sein.
Manchmal schreibt man auch statt .
Definition als Änderung von Kurven
Das Differential ist die eindeutige Lineare Funktion sodass für jede Kurve mit gilt
Die Lineare Funktion kommt daher, dass ein Vektorraum ist. Siehe dazu Tangentialraum. Das Differential sagt, wie die Funktion einen Wert aus auf einen Wert aus abbildet.
Definition als Änderung des Koordinatensystems (Jacobi-Matrix)
Definiere für jedes Paar von Karten um und um die Jacobi-Matrix: Das ist einfach die normale Jacobi-Matrix der Funktion
Das Differential erhalten wir durch die Jacobi-Matrix durch Matrixmultiplikation:
Die Karte im Index steht vermutlich da, um das verwendete Koordinatensystem zu notieren.
Definition als Änderung der Derivation (Koordinaten-frei)
Wir nutzen die Idee, dass Tangentenvektoren als Richtungsableitungen betrachtet werden können, um Derivationen zu definieren. Daraus bilden wir dann eine Differential . ist definiert durch ist eine Lineare Derivation. ist hierbei ein Funktionenkeim auf um
Q: Differential A:
Eigenschaften
Natürliche Identifikation von und
Durch Identifikation von und erhält man eine natürliche Identifikation der beiden Differentiale.
Da die erste Definition wohldefiniert ist und die zweite Linear gleten beide Eigenschaften für beide Charakterisierungen.
Natürliche Identifikation von und
Durch Identifikation von und erhält man eine natürliche Identifikation der beiden Differentiale.
Kettenregel
Das Differential folgt der Kettenregel. Seien und Abbildungen.
Dann gilt
lit_gallotRiemannianGeometry2004
\newcommand{\R}{\mathbb R}