Zerlegung der Eins

Beschreibung

Eine Zerlegung der Eins ist eine Menge von Funktionen, die aussummiert $1$ ergeben. Sie ermöglicht es, viele Konzepte aus der euklidischen Welt in die Welt der Mannigfaltigkeiten zu übertragen.

Beispielsweise lässt sich damit die Integration über Mannigfaltigkeiten definieren, indem die Integration auf viele kleine Integrationen über die Definitionsbereiche von Karten durchgeführt wird.

Indem man über alle Zerlegungen der Eins integriert zählt man letztendlich jeden Punkt einmal.

Die Zerlegung der Eins ist derart wichtig, dass die Zweitabzählbarkeit eine Voraussetzung für eine Mannigfaltigkeit wurde. Ist eine Manigfaltigkeit nämlich zweiabzählbar, so gibt es eine Zerlegung der Eins.

Definition

Sei $M$ eine Topologische Mannigfaltigkeit. Eine Teilung der Eins ist eine Menge $\mathcal{P}=\{{\rho }_i:M\to [0,1],i\in I\}$ von Funktionen auf $M$, sodass

1. Jeder Punkt $p\in M$ ist in endlich vielen Trägern $supp({\rho }_i)$ enthalten.
2. ${\sum }_i{\rho }_i(p)=1$

Subordiniert zu einer Offenen Überdeckung

Eine Zerlegung der Eins ist subordiniert zu einer offenen Überdeckung $\{U_i\}$, wenn der Träger von ${\rho }_i$ in $U_i$ enthalten ist.