Duale Gruppe

Beschreibung

Die Duale Gruppe (auch Charaktergruppe) verallgemeinert das Konzept der Dualität in die Gruppentheorie.

Definition

Sei $G$ eine kompakte, abelsche, Topologische Gruppe mit der Operation $+$. Die Menge aller Gruppencharakter bildet unter Addition $(\chi +{\chi }^{\prime })(x)=\chi (x)+{\chi }^{\prime }(x)$ selbst wieder eine Gruppe. Diese Gruppe wird als die Dualgruppe $(\hat{G},+)$ bezeichnet. Die Dualgruppe wird mit der Kompakt-Offen-Topologie selbst wieder zu einer topologischen Gruppe.

Eigenschaften

Dualgruppe als unterscheidende Funktionen

Seien $g,h\in G$ zwei Elemente der ursprünglichen Gruppe. Dann gibt es ein Element $\chi \in \hat{G}$ der Dualgruppe, das die beiden unterscheiden kann, d.h. $\chi (g)\ne \chi (h)$

Dualgruppe der Dualgruppe

Es gilt der Isomorphismus $\hat{\hat{G}}\cong G$

Induzierte Homomorphismen

Sei $\tau :G\to G$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann induziert das einen Gruppenhomomorphismus $\hat{\tau }$ der dualen Gruppe: $(\hat{\tau }(\chi ))(x)=\chi (\tau (x))$ Automorphismen induzieren dabei ebenfalls Automorphismen.

Beispiele

Torus $T^n$

Betrachte den Torus $T^n$ und den Homomorphismus, gegeben durch eine ganzzahlige Matrix $A$. Die duale Gruppe von $T^n$ ist ${\mathbb{Z}}^n$. Der induzierte Homomorphismus $\hat{A}$ wirkt auf Zeilenvektoren von ${\mathbb{Z}}^n$ durch Rechtsmultiplikation. Ein Element $\eta \in n$ definiert einen Gruppencharakter ${\chi }_{\eta }$ durch ${\chi }_{\eta }(x)=\eta x\mathrm{mod}1$.

Torusfolge $(T^n{)}^{\mathbb{N}}$

Betrachte die Torusfolge $(T^n{)}^{\mathbb{N}}$ und als Homomorphismus den Shift nach links $\sigma$. Die Dualgruppe ist eine Direkte Summe eines Zeilenvektorraumes ${\oplus }_{\mathbb{N}}{\mathbb{Z}}^n$. Der duale Homomorphismus $\hat{\sigma }$ wirkt auf ${\oplus }_{\mathbb{N}}{\mathbb{Z}}^n$ durch $\hat{\sigma }(\alpha {)}_i={\alpha }_{i-1}$ und $(\hat{\sigma }(\alpha ){)}_0=0$. Ein Element $\alpha \in {\oplus }_{\mathbb{N}}{\mathbb{Z}}^n$ definiert den Charakter ${\chi }_{\alpha }$ mit ${\chi }_{\alpha }(x)=\sum _i{\alpha }_i{x}_i$

Inverses Limit $\underleftarrow{\lim }(T^n,A)$

Betrachte das inverse Limit $\underleftarrow{\lim }(T^n,A)$ sowie den durch $A$ induzierten Automorphismus $A^{\ast }$, definiert als $A^{\ast }(x_0,...)=(A{x}_0,x_1,...)$. Die duale Gruppe ist das Direkte Limit $\underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)$ Die Matrix $A$ induziert einen Automorphismus $A_{\ast }$ durch $A_{\ast }({\alpha }_0,...)=({\alpha }_{0}A,{\alpha }_{1}A,...)$. Ein Element $\bar{\alpha }\in \underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)$ definiert einen Charakter durch das Auswählen eines $\alpha \in \sum {\mathbb{Z}}^n$, das unterm Quotienten auf $\bar{\alpha }$ abbildet und durch ${\chi }_{\bar{\alpha }}(x)={\alpha }_i{x}_i$.

lit_kitchensSymbolicDynamicsOnesided2012