Linsenräume

Beschreibung

Linseräume sind eine Klasse von $3$-dimensionale Glatte Mannigfaltigkeit. Man erhält sie, indem man zwei Hemisphären eines $2$-Ball miteinander identifiziert.

Definition

Trivialer Linsenraum

Wir identifizieren die obere Hemisphäre von $B^3$ durch Spiegelung auf die untere Hemisphäre. Den Äquator lassen wir unverändert. Das Resultat ist $S^3$.

Das Vorgehen ist eine Dimension tiefer leicht zu visualisieren. Man nehme die Kreisscheibe $B^2$ und identifiziere beide Seiten. Wir erhalten $S^2$ durch kleben.

$p/q$-Rotation

Wir identifizieren Punkte der Hemisphären mit ein $p/q$-Volldrehung der oberen Hemisphäre. Punkte der Hemisphären werden dadurch immer noch in Paaren identifiziert. Punkte des Äquators habe aber mehrere Identifikationpunkte. Es werden nämlich alle Punkte durch eine wiederholte $p/q$-Drehung miteinander identifiziert.

Eigenschaften

Identifikation mehrerer Linsenräume

Schneidet man eine Linse in $q$-Pizzastücke auf und klebt diese gemäß der Identifikationen zusammen, erhält man den $(1/p\mathrm{mod}q)/q$-Linsenraum.

Linsenraum ist Resultat zweier Torusklebungen

Schneidet man aus einer Linse einen Zyklinder aus, wird er innere Zyklinder durch Klebung ein voller 2-Torus.

Außen bleibt ein Ring übrig. Dieser Ring hat außen eine Kante. Wir bilden einen zwei Torus, indem die äußere Kante des Rings $q$-mal um einen Kreis wickeln.