Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppe

Beschreibung

Der Hauptsatz besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ein Produkt aus zyklischen Gruppen und ${\mathbb{Z}}^k$ ist.

Definition

Sei $G$ eine Endlich Erzeugte Abelsche Gruppe. Dann gibt es $r,s\in \mathbb{N}$ mit $G\cong {\mathbb{Z}}^r\times \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z}/d_s\mathbb{Z}$ Dabei können die Zahlen $d_1$ so gewählt werden, dass sie entweder

1. Alle Primzahlpotenzen sind
2. $d_i|d_{i+1}$ für $1\le i<s$ erfüllt ist. $z.B.:100=2\ast 50=5\ast 20=10\ast 10$

Im Fall 2. gezeichnet man die Zahlen $d_i$ als Elementarteiler der abelschen Gruppe.